Оригинальные студенческие работы


Реферат на тему что такое призмы

Если в пирамиде все боковые ребра равны, то вершина проектируется в центр описанной около основания окружности. O — Центр описанной окружности Доказательство: Если в пирамиде все двугранные углы при основании равны, то вершина проектируется в реферат на тему что такое призмы вписанной в основание окружности.

O — центр вписанной окружности Доказательство: По условию двугранные углы равны, значит и соответствующие линейные углы будут равны.

Геометрические фигуры. Призма. Объем призмы.

Значит, она — центр вписанной окружности. Симметрия правильной пирамиды 1. Усеченная пирамида Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию отсекает подобную пирамиду. Пусть S — вершина пирамиды, A — вершина основания и A1 — точка пересечения секущей плоскости с боковым ребром SA рис. Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии фр.

Так как гомотетия есть преобразование подобия, то отсекаемая часть пирамиды является пирамидой подобной данной. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой. Грани реферат на тему что такое призмы пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями; остальные грани называются боковыми гранями.

Основания усеченной пирамиды подобные многоугольники, их стороны попарно параллельны, поэтому боковые грани — трапеции. Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания на плоскость другого основания. Сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра усеченной пирамиды, не лежащих в одной грани, называется диагональным.

E1C1CE — диагональное сечение усеченной пирамиды. Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то: Площадь сечения параллельного основанию пирамиды — квадратная функция расстояния его плоскости от вершины или основания пирамиды. Чтобы построить реферат на тему что такое призмы пирамиду, сначала намечают карандашом полную пирамиду, проводят сечение, параллельное основанию, проводят ребра усеченной пирамиды, а верхнюю часть стирают.

Правильная усеченная пирамида Усеченная пирамида называется правильной, если она составляет часть правильной пирамиды рис. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой.

1. Исторические сведения о пирамиде

Например, KK1 — апофема правильной усеченной пирамиды. Прямая OO1 называется осью правильной усеченной пирамиды. Площадь пирамиды Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему. Если сторона основания а, число сторон n, то боковая поверхность пирамиды равна: Эта формула читается так: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

  1. Немало общего имеет тетраэдр с четырехугольником — ведь у обоих по четыре вершины. Прямая OO1 называется осью правильной усеченной пирамиды.
  2. Пирамиды, у которых основаниями являются эти треугольники, а вершинами — вершина данной пирамиды, составляют данную пирамиду.
  3. BP Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. Нетрудно увидеть, что медианы тетраэдра лежат на диагоналях граней параллелепипеда и также проходят через точку O.
  4. А вот с шестью областями, примыкающими к ребрам и по форме напоминающими четырехскатные крыши или чердаки, дело обстоит сложнее.

Площадь боковой и полной поверхности усеченной пирамиды Теорема: Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

В правильной усеченной пирамиде все боковые грани — равные между собой трапеции. Реферат на тему что такое призмы основания трапеции a и a1, ее высота k, тогда Sгр. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой рис. Эта призма составлена из реферат на тему что такое призмы пирамид: Поэтому у них равные объемы. Поэтому у них тоже равные объемы. Значит, все три пирамиды имеют один и тот же объем. Итак, объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: Пирамиды, у которых основаниями являются эти треугольники, а вершинами — вершина данной пирамиды, составляют данную пирамиду.

Объем данной пирамиды равен сумме объемов составляющих ее пирамид.

В усеченной пирамиде площадь сечения плоскостью, параллельной основанию, есть квадратная функция от расстояния сечения до этого основания. Значит, применима формула Симпсона: Пусть A2B2C2D2 — среднее сечение. Основания и среднее сечение — подобные многоугольники, и потому S: Подставим эти значения в 3: Подставим значения Sн, Sв и Sc в 1: Тетраэдр Изо всех рассмотренных пирамид наибольший интерес у меня проявляется к реферат на тему что такое призмы пирамиде, называемой тетраэдром.

Я постараюсь более подробно рассмотреть тетраэдр и его свойства. Как треугольник — простейший многоугольник, так тетраэдр, или треугольная пирамида — простейший многогранник. Геометрия тетраэдра ничуть не менее богата, чем геометрия его плоского собрата — треугольника, многие свойства которого в преображенном виде мы находим у тетраэдра.

Немало общего имеет тетраэдр с четырехугольником — ведь у обоих по четыре вершины. Треугольники принято классифицировать по степени их симметричности: Самый симметричный тетраэдр правильный, ограниченный четырьмя правильными треугольниками.

Он имеет 6 плоскостей симметрии — реферат на тему что такое призмы проходят через каждое ребро перпендикулярно противолежащему ребру и 3 оси симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер. Менее симметричны правильные треугольные пирамиды то есть тетраэдры с равными гранями — 3 оси симметрии. Такой тетраэдр обладает наибольшим набором самосовмещений. Имеется 12 поворотов, переводящих его в себя, 6 симметрий относительно плоскостей и еще 6 движений, сочетающих поворот с симметрией.

Тетраэдр и сферы Любой треугольник имеет единственную вписанную и описанную окружности. Точно также у любого тетраэдра есть единственная вписанная касающаяся всех граней и единственная описанная проходящая через все вершины сферы.

Призма (геометрия)

Доказательства этих свойств повторяют соответствующие планиметрические: Но кроме граней и вершин тетраэдр имеет еще и ребра. Здесь тетраэдр ведет реферат на тему что такое призмы, как четырехугольник, и условия существования полувписанной сферы повторяет признак описанного четырехугольника: По сути дела, это все тот же планиметрический признак, но примененный к пространственным четырехугольникам — в данном случае четырехугольникам, образованным двумя парами противоположных ребер тетраэдра.

Но еще большие неожиданности обнаруживаются при исследовании вневписанных сфер тетраэдра, то есть сфер, касающихся плоскостей всех четырех его граней, но лежащих вне тетраэдра. Как известно, у любого треугольника имеется три вневписанные окружности. Плоскости реферат на тему что такое призмы тетраэдра разбивают пространство на 15 областей рис.

Кроме четырех трехгранных углов, примыкающих к вершинам, остальные 11 областей ограничены всеми четырьмя плоскостями. А вот с шестью областями, примыкающими к ребрам и по форме напоминающими четырехскатные крыши или чердаки, дело обстоит сложнее. Итак, тетраэдр имеет не менее четырех и не более семи вневписанных сфер, причем все промежуточные случаи возможны.

Медианы тетраэдра Для любого тетраэдра справедлив аналог теоремы о пересечении медиан треугольника в одной точке, реферат на тему что такое призмы которой они делятся в отношении 2: Так, 6 плоскостей, проведенных через ребра тетраэдра и середины противолежащих ребер, пересекаются в одной точке — в центроиде тетраэдра.

Медианами в тетраэдре называются отрезки, соединяющие его вершины с центроидами противоположных граней. Эти четыре отрезка всегда пересекаются в одной точке M и делятся в ней в отношении 3: Через ту же точку проходят и бимедианы — отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, причем они делятся точкой M пополам.

Центроид тетраэдра, как и центроид треугольника, является центром равных масс, помещенных в его вершины, — обстоятельство, которое можно использовать для доказательства приведенных выше свойств. Чисто геометрически их можно доказать с помощью следующей полезной конструкции. Проведем через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную противоположному ребру рис. Получим три пары параллельных плоскостей, ограничивающих параллелепипед, называемый описанным параллелепипедом тетраэдра.

Ребра тетраэдра являются диагоналями граней параллелепипеда, середины ребер — их центроидами. Отсюда следует, что все бимедианы проходят через центр O параллелепипеда и делятся им пополам. Нетрудно увидеть, что медианы тетраэдра лежат на диагоналях граней параллелепипеда и также проходят через точку O. Иначе обстоит дело с высотами — перпендикулярами, опущенными из вершин тетраэдра на противоположные грани. Высоты треугольника пересекаются в одной точке — ортоцентре. То же верно и для правильных тетраэдров, в частности для правильных треугольных пирамид.

Но, например, у тетраэдра ABCD, вписанного в куб, реферат на тему что такое призмы показано на рис. И все же ортоцентр существует у достаточно широкого класса тетраэдров.

Они так и называются — ортоцентрические тетраэдры. Любой из них можно получить, взяв в качестве основания произвольный треугольник и соединив его вершины с любой точкой на перпендикуляре к его плоскости, восстановленном из его ортоцентра рис.

И обратно, основания всех высот ортоцентрического тетраэдра — ортоцентры его граней. Приведем еще несколько критериев то есть необходимых и достаточных условий ортоцентричности: Некоторые свойства треугольника, связанные с ортоцентром, например теорема о прямой Эйлера и об окружности девяти точек в соответственно измененном виде, можно найти и у ортоцентрического тетраэдра.

Центроид ортоцентрического тетраэдра лежит на отрезке между ортоцентром H и центром описанной реферат на тему что такое призмы O и делит этот отрезок пополам, а точка, которая разбивает отрезок OH в отношении 1: Доказательства этих теорем не так уж и сложны, хотя и требуют пространственного воображения.

Об одном виде ортоцентрических тетраэдров стоит сказать отдельно — о тетраэдре, в вершине которого сходятся три взаимно перпендикулярных ребра рис. Очевидно, эта вершина M и будет его ортоцентром. Такой тетраэдр называется прямоугольным. Поскольку при проекции площадь фигуры умножается на косинус угла между ее плоскостью и плоскостью проекции, то: Равногранный тетраэдр Как мы определяем правильный, или равносторонний, треугольник?

Естественно, как треугольник, все стороны которого равны.

VK
OK
MR
GP